Question

設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）+xf′（x）＞0，若f（3）=5，且當(dāng)x∈（-∞，-a）∪（a，+∞），a＞0時(shí)，不等式恒成立，則a的取值范圍是________．

Answer 1

a≥3
分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），確定函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，求出不等式的解集，即可得到結(jié)論．
解答：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），
因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，
所以函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
所以不等式等價(jià)于|xf（x）|＞15，即g（x）＞15或g（x）＜-15
當(dāng)x＞3時(shí)，g（x）＞g（3）=3f（3）=3×5=15
又g（x）＞g（0）=0，所以g（x）＜-15這種情況不存在，不考慮
因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）
所以g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），所以g（x）是偶函數(shù)
故xf（x）＞15的解集為x∈（-∞，-3]∪[3，+∞）
要使x∈（-∞，-a）∪（a，+∞），a＞0時(shí)，不等式恒成立，只需a≥3
故答案為：a≥3
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的奇偶性，考查解不等式，屬于中檔題．