Question

設(shè)P（a，b）（b≠0）是平面直角坐標系xOy中的點，l是經(jīng)過原點與點（1，b）的直線，記Q是直線l與拋物線x²=2py（p≠0）的異于原點的交點
（1）若a=1，b=2，p=2，求點Q的坐標
（2）若點P（a，b）（ab≠0）在橢圓+y²=1上，p=，
求證：點Q落在雙曲線4x²-4y²=1上
（3）若動點P（a，b）滿足ab≠0，p=，若點Q始終落在一條關(guān)于x軸對稱的拋物線上，試問動點P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立姐方程求出交點坐標，
（2）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立求出交點Q的坐標；將P的坐標代入橢圓方程得到a，b滿足的關(guān)系，變形得到Q的坐標滿足雙曲線方程，證出點Q在雙曲線上．
（3）設(shè)出Q所在的拋物線方程，將Q的坐標代入得到a，b滿足的方程；通過對p，c的分類討論得到P所在的曲線．
解答：解：（1）當a=1，b=2，p=2時，
解方程組得即點Q的坐標為（8，16）（3分）
（2）證明：由方程組得
即點Q的坐標為（5分）
∵P時橢圓上的點，即=1
∴，
因此點Q落在雙曲線4x²-4y²=1上（8分）
（3）設(shè)Q所在的拋物線方程為y²=2q（x-c），q≠0（10分）
將代入方程，得，即b²=2qa-2qca²（12分）
當c=0時，b²=2qa，此時點P的軌跡落在拋物線上；
當qc=時，，此時點P的軌跡落在圓上；
當qc＞0且qc≠時，=1，此時點P的軌跡落在橢圓上；
當qc＜0時=1，此時點P的軌跡落在雙曲線上；（16分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系常用的處理方法是將它們的方程聯(lián)立、判斷動點的軌跡常通過動點的方程來判斷．