Question

【題目】為篩查在人群中傳染的某種病毒，現(xiàn)有兩種檢測(cè)方法：

（1）抗體檢測(cè)法：每個(gè)個(gè)體獨(dú)立檢測(cè)，每一次檢測(cè)成本為80元，每個(gè)個(gè)體收取檢測(cè)費(fèi)為100元．

（2）核酸檢測(cè)法：先合并個(gè)體，其操作方法是：當(dāng)個(gè)體不超過10個(gè)時(shí)，把所有個(gè)體合并在一起進(jìn)行檢測(cè)．

當(dāng)個(gè)體超過10個(gè)時(shí)，每10個(gè)個(gè)體為一組進(jìn)行檢測(cè)．若該組檢測(cè)結(jié)果為陰性（正常），則只需檢測(cè)一次；若該組檢測(cè)結(jié)果為陽性（不正常），則需再對(duì)每個(gè)個(gè)體按核酸檢測(cè)法重新獨(dú)立檢測(cè)，共需檢測(cè)k+1次（k為該組個(gè)體數(shù)，1≤k≤10，k∈N*）．每一次檢測(cè)成本為160元．假設(shè)在接受檢測(cè)的個(gè)體中，每個(gè)個(gè)體的檢測(cè)結(jié)果是陽性還是陰性相互獨(dú)立，且每個(gè)個(gè)體是陽性結(jié)果的概率均為p（0＜p＜1）．

（Ⅰ）現(xiàn)有100個(gè)個(gè)體采取抗體檢測(cè)法，求其中恰有一個(gè)檢測(cè)出為陽性的概率；

（Ⅱ）因大多數(shù)人群篩查出現(xiàn)陽性的概率很低，且政府就核酸檢測(cè)法給子檢測(cè)機(jī)構(gòu)一定的補(bǔ)貼，故檢測(cè)機(jī)構(gòu)推出組團(tuán)選擇核酸檢測(cè)優(yōu)惠政策如下：無論是檢測(cè)一次還是k+1次，每組所有個(gè)體共收費(fèi)700元（少于10個(gè)個(gè)體的組收費(fèi)金額不變）．已知某企業(yè)現(xiàn)有員工107人，準(zhǔn)備進(jìn)行全員檢測(cè)，擬準(zhǔn)備9000元檢測(cè)費(fèi)，由于時(shí)間和設(shè)備條件的限制，采用核酸檢測(cè)法合并個(gè)體的組數(shù)不得高于參加采用抗體檢測(cè)法人數(shù)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)合理的的檢測(cè)安排方案；

（Ⅲ）設(shè)，現(xiàn)有n（n∈N*且2≤n≤10）個(gè)個(gè)體，若出于成本考慮，僅采用一種檢測(cè)方法，試問檢測(cè)機(jī)構(gòu)應(yīng)采用哪種檢測(cè)方法？（ln3≈1.099，ln4≈1.386，ln5≈1.609，ln6≈1.792）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）見解析（Ⅲ）當(dāng)n＝2時(shí)，采用抗體檢測(cè)法，當(dāng)3≤n≤10，n∈N*時(shí)，采用核酸檢測(cè)法．

【解析】

（Ⅰ）利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次概率計(jì)算公式能求出其中恰有一個(gè)檢測(cè)出為陽性的概率；（Ⅱ）設(shè)安排x個(gè)個(gè)體采用抗體檢測(cè)法，y組個(gè)體采用核酸檢測(cè)法，根據(jù)已知條件列出不等式組，總檢測(cè)費(fèi)用為z＝100x+700y，利用線性規(guī)劃設(shè)計(jì)合理的安排方案；（Ⅲ）分別求出兩種檢測(cè)法的成本期望，由EX＞EY推導(dǎo)出ln（），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而求出n的取值范圍，即可確定檢測(cè)方法．

（Ⅰ）現(xiàn)有100個(gè)個(gè)體采取抗體檢測(cè)法，其中恰有一個(gè)檢測(cè)出為陽性的概率為：

P．

（Ⅱ）設(shè)安排x個(gè)個(gè)體采用抗體檢測(cè)法，y組個(gè)體采用核酸檢測(cè)法，

則由條件知：，x，y∈N，

總檢測(cè)費(fèi)用為．

畫出可行域如圖，

由，解得A（，），

則在可行域內(nèi)臨近A點(diǎn)的整點(diǎn)有（10，10），（17，9），此時(shí)，Zmin＝8000，

即安排17人采取抗體檢測(cè)法，90人采用核酸檢測(cè)法，或者安排10人采取抗體檢測(cè)法，97人采用核酸檢測(cè)法，可使所有員工參加檢測(cè)，且費(fèi)用偏低．

（Ⅲ）設(shè)采用抗體檢測(cè)法，檢測(cè)機(jī)構(gòu)成本期望為EX，則，

采用核酸檢測(cè)，檢測(cè)機(jī)構(gòu)成本期望為EY，

設(shè)采用核酸檢測(cè)法檢測(cè)次數(shù)為η，則η的取值只有1和n+1，

且， ，

∴，

∴，

設(shè)EX＞EY，則，即，

∵，∴，

∴，即，

設(shè)，則，

由，得，，得，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又

，

，

∴當(dāng)n≥3，時(shí)，EX＞EY，

∴當(dāng)n＝2時(shí)，采用抗體檢測(cè)法，當(dāng)3≤n≤10，時(shí)，采用核酸檢測(cè)法．