Question

下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（已知b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

）
（2）已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低了多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個(gè)數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點(diǎn)代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（2）根據(jù)上一問(wèn)所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量．

解答：解：（1）∵

.

x

=

1

4

(3+4+5+6)=4.5（噸），

.

y

=

1

4

(2.5+3+4+4.5)=3.5（噸），

4

i=1

xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，

4

i=1

x

2 i

=9+16+25+36=86，
∴b=

4 i=1 xiyi-4 . x . y

4 i=1 xi2-4 . x 2

=

66.5-4×4.5×3.5

86-4×4.52

=0.7，
∴a=

.

y

-0.7×

.

x

=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴y關(guān)于x的回歸方程為

?

y

=0.7x+0.35；
（2）由（1）可知技術(shù)改造后100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗約為0.7×100+0.35=70.35（噸），
∵技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸，
∴降低的能耗約為90-70.35=19.65（噸），
即預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低了19.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題時(shí)運(yùn)算量比較大，注意利用公式求系數(shù)時(shí)，不要在運(yùn)算上出錯(cuò)．屬于中檔題．