Question

1．已知函數(shù)f（x）=xsinx+cosx+x²，則不等式$f（lnx）+f（ln\frac{1}{x}）＜2f（1）$的解集為（　　）

• A． （e，+∞）
• B． （0，e）
• C． $（0，\frac{1}{e}）∪（1，e）$
• D． $（\frac{1}{e}，e）$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，求出單調增區(qū)間，再判斷函數(shù)的奇偶性，則不等式$f（lnx）+f（ln\frac{1}{x}）＜2f（1）$，轉化為f（lnx）＜f（1）即為f|lnx|）＜f（1），則|lnx|＜1，運用對數(shù)函數(shù)的單調性，即可得到解集．

解答 解：函數(shù)f（x）=xsinx+cosx+x²的導數(shù)為：
f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx），
則x＞0時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
且f（-x）=xsinx+cos（-x）+（-x）²=f（x），
則為偶函數(shù)，即有f（x）=f（|x|），
則不等式$f（lnx）+f（ln\frac{1}{x}）＜2f（1）$，即為f（lnx）＜f（1）
即為f|lnx|）＜f（1），
則|lnx|＜1，即-1＜lnx＜1，解得，$\frac{1}{e}$＜x＜e．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的單調性和奇偶性的運用：解不等式，考查導數(shù)的運用：判斷單調性，考查對數(shù)不等式的解法，屬于中檔題和易錯題．