Question

已知f(x)=lg(a^x-b^x)(a>1>b>0).
(1)求y=f(x)的定義域；
(2)在函數(shù)圖象上是否存在不同兩點(diǎn)，使過兩點(diǎn)的直線平行于x軸?

Answer 1

(1)由a^x-b^x>0，得()^x>1=()⁰.
∵>1，∴x>0.
∴函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞).
(2)先證明f(x)是增函數(shù).
對于任意x₁>x₂>0，∵a>1>b>0，
∴>，<.
∴->-.
∴l(xiāng)g(-)>lg(-).
∴f(x₁)>f(x₂).
∴f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù).
假設(shè)y=f(x)上存在不同的兩點(diǎn)A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，使直線AB平行于x軸，
則x₁≠x₂，y₁=y₂，這與f(x)是增函數(shù)矛盾.
∴y=f(x)的圖象上不存在兩點(diǎn)，使過這兩點(diǎn)的直線平行于x軸.

(2)的思維難點(diǎn)是把問題化歸為研究函數(shù)的單調(diào)性問題.