Question

已知橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)A（1，0），過(guò)C₁的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1．
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）設(shè)點(diǎn)P在拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）上，C₂在點(diǎn)P處的切線與C₁交于點(diǎn)M，N．當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求h的最小值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，求出a，b的值，然后得出橢圓的方程．
（II）設(shè)出M，N，P的坐標(biāo)，將直線代入橢圓，聯(lián)立方程組，根據(jù)△判斷最值即可．

解答：解：（I）由題意得

b=1 2• b2 a =1

，∴

a=2 b=1

，
所求的橢圓方程為

y2

4

+x2=1，
（II）不妨設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（t，t²+h），
則拋物線C₂在點(diǎn)P處的切線斜率為y'|_x=t=2t，
直線MN的方程為y=2tx-t²+h，將上式代入橢圓C₁的方程中，
得4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
即4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，
因?yàn)橹本�MN與橢圓C₁有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以有△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0，
設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x₃，
則x3=

x1+x2

2

=

t(t2-h)

2(1+t2)

，
設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x₄，
則x4=

t+1

2

，由題意得x₃=x₄，
即有t²+（1+h）t+1=0，
其中的△₂=（1+h）²-4≥0，∴h≥1或h≤-3；
當(dāng)h≤-3時(shí)有h+2＜0，4-h²＜0，
因此不等式△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0不成立；
因此h≥1，當(dāng)h=1時(shí)代入方程t²+（1+h）t+1=0得t=-1，
將h=1，t=-1代入不等式△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0成立，因此h的最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐圖象的綜合利用，橢圓方程的應(yīng)用，通過(guò)構(gòu)造一元二次方程，利用根的判別式計(jì)算，屬于中檔題．