已知函數(shù)g(x)=
4x-n
2x
是奇函數(shù),f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函數(shù).
(1)求m+n的值;
(2)設(shè)h(x)=f(x)+
1
2
x,若g(x)>h[log4(2a+1)]對(duì)任意x≥1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(3)若對(duì)任意的t∈R,不等式g(t2-2t)+g(2t2-k)>0恒成立,求k的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)定義在R上奇函數(shù)滿(mǎn)足g(0)=0,解出n=1,再根據(jù)f(-x)=f(x),化簡(jiǎn)整理得到m=-
1
2
,由此可得m+n的值;
(2)由(1)得h(x)=log4(4x+1),從而h[log4(2a+1)]=log4(2a+2),根據(jù)g(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),得g(x)min=g(1)=
3
2
,可建立關(guān)于a的不等式組,解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)根據(jù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)且是增函數(shù),將原不等式轉(zhuǎn)化為t2-2t>-2t2+k對(duì)一切t∈R恒成立,再結(jié)合一元二次不等式恒成立的條件,列出關(guān)于k的不等式,解之可得k的取值范圍.
解答:解:(1)由于g(x)為奇函數(shù),且定義域?yàn)镽,
∴g(0)=0,即
40-n
20
=0,解之得n=1,…(2分)
由于f(x)=log4(4x+1)+mx,
∴f(-x)=log4(4-x+1)-mx=log4(4x+1)-(m+1)x,
∵f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函數(shù),
∴f(-x)=f(x),得到m=-
1
2
,由此可得:m+n的值為
1
2
;…(4分)
(2)∵h(yuǎn)(x)=f(x)+
1
2
x=log4(4x+1),∴h[log4(2a+1)]=log4(2a+2),…(6分)
又∵g(x)=
4x-1
2x
=2x-2-x在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),
∴當(dāng)x≥1時(shí),g(x)min=g(1)=
3
2
…(8分)
由題意得到
2a+2<4
3
2
2a+1>0
2a+2>0
,解之得-
1
2
<a<3,得a的取值范圍是:(-
1
2
,3).…(9分)
(3)g(x)=2x-2-x在區(qū)間(-∞,+∞)上是增函數(shù),
又∵g(-x)=-g(x),得g(x)是奇函數(shù),
∴不等式g(t2-2t)+g(2t2-k)>0等價(jià)于g(t2-2t)>-g(2t2-k)=g(-2t2+k)…(10分)
由g(x)在R上是增函數(shù)得,t2-2t>-2t2+k對(duì)一切t∈R恒成立,…(12分)
即3t2-2t-k>0對(duì)一切t∈R恒成立,,所以△=4+12k<0,解之得k<-
1
3
…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題給出含有指數(shù)和對(duì)數(shù)的函數(shù),討論函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性并解決關(guān)于x的不等式恒成立的問(wèn)題,著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)和不等式恒成立問(wèn)題的處理等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=
3
4
-
1
2
sinxcosx-
3
2
sin2
x,將其圖象向左移
π
4
個(gè)單位,并向上移
1
2
個(gè)單位,得到函數(shù)f(x)=acos2(x+φ)+b(a>0,b∈R,|φ|≤
π
2
)
的圖象.
(1)求實(shí)數(shù)a,b,φ的值;
(2)設(shè)函數(shù)φ(x)=g(x)-
3
f(x),x∈[0,
π
2
]
,求函數(shù)φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=4-x2,g(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),g(x)=log2x,則函數(shù)y=f(x)•g(x)的大致圖象為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=ax-
ax
-5lnx,其中a∈R.
(1)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)h(x)=x2-mx+4,當(dāng)a=2時(shí),若?x1∈(0,1),?x2∈[1,2],總有g(shù)(x1)≥h(x2)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

(2009•金山區(qū)二模)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x.(1)解不等式:f(x)<0;(2)請(qǐng)先閱讀下列材料,然后回答問(wèn)題.
材料:已知函數(shù)g(x)=-
1
f(x)
,問(wèn)函數(shù)g(x)是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,說(shuō)明理由.一個(gè)同學(xué)給出了如下解答:
解:令u=-f(x)=-x2-x,則u=-(x+
1
2
2+
1
4
,
當(dāng)x=-
1
2
時(shí),u有最大值,umax=
1
4
,顯然u沒(méi)有最小值,
∴當(dāng)x=-
1
2
時(shí),g(x)有最小值4,沒(méi)有最大值.
請(qǐng)回答:上述解答是否正確?若不正確,請(qǐng)給出正確的解答;
(3)設(shè)an=
f(n)
2n-1
,請(qǐng)?zhí)岢龃藛?wèn)題的一個(gè)結(jié)論,例如:求通項(xiàng)an.并給出正確解答.
注意:第(3)題中所提問(wèn)題單獨(dú)給分,.解答也單獨(dú)給分.本題按照所提問(wèn)題的難度分層給分,解答也相應(yīng)給分,如果同時(shí)提出兩個(gè)問(wèn)題,則就高不就低,解答也相同處理.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=2sin(3x-
π
4
)+1,當(dāng)x∈[0,
π
3
]時(shí)方程g(x)=m恰有兩個(gè)不同的實(shí)根x1,x2,則x1+x2=( 。
A、
π
3
B、
π
2
C、π
D、2π

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