Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）求證：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角M-AC-D的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接OM，BD，
∵M(jìn)，O分別為PD和AC中點(diǎn)，
∴OM∥PB，
∵OM?平面ACM，PB?ACM平面，
∴PB∥平面ACM…．（4分）
（Ⅱ）證明：∵PO⊥平面ABCD
∴PO⊥AD，
∵∠ADC=45°，AD=AC=1，
∴AC⊥AD，
∵AC∩PO=O，AC，PO?平面PAC，
∴AD⊥平面PAC．…..（8分）
（Ⅲ）解：取DO中點(diǎn)N，連接MN，則MN∥PO，
∴MN⊥平面ABCD
過點(diǎn)N作NE⊥AC于E，則E為AO中點(diǎn)，
連接ME，由三垂線定理可知∠MEN即為二面角M-AC-D的平面角，
∵M(jìn)N=1，NE=
∴tan∠MEN=2…..（13分）
分析：（Ⅰ）連接OM，BD，由M，O分別為PD和AC中點(diǎn)，知OM∥PB，由此能夠證明PB∥平面ACM．
（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC=1，知AC⊥AD，由此能夠證明AD⊥平面PAC．
（Ⅲ）取DO中點(diǎn)N，連接MN，由MN∥PO，知MN⊥平面ABCD．過點(diǎn)N作NE⊥AC于E，由E為AO中點(diǎn)，連接ME，由三垂線定理知∠MEN即為所求，由此能求出二面角M-AC-D的正切值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行、直線現(xiàn)平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三垂直線定理的合理運(yùn)用．