Question

已知二次函數(shù)+的圖象通過原點，對稱軸為，．是的導(dǎo)函數(shù)，且 ．

（1）求的表達式（含有字母）；

（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式；

（3）在（2）條件下，若，，是否存在自然數(shù)，使得當時恒成立?若存在，求出最小的；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在自然數(shù)M=4，使得當n＞M時n•2n+1-Sn＞50恒成立．

【解析】

試題分析：（1）利用二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象通過原點，對稱軸為x=-2n，（n∈N*）．是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且，可求f（x）的表達式（含有字母n）；

（2）由（１）可得，從而有，利用疊加法：，求出數(shù)列{an}的通項公式；

（3）由(2)可知，它是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項的積構(gòu)成的一個新的數(shù)列，這種數(shù)列的前n項和可利用兩邊同時乘公比相減的錯位相減法求和先求出，然后就可將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為只含n的不等式恒成立問題，即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）由已知，可得，， 1分

∴ 解之得， 3分

4分

（2） 5分

= 8分

（3）

10分

（1）

（2）

（1）—（2）得： … 12分

=，即，當時， … 13分

，使得當時，恒成立 14分

考點：１．數(shù)列的通項與求和；2．恒成立問題；3．數(shù)列與函數(shù)的綜合．