Question

已知i，j是x，y軸正方向上的單位向量，設a=（x-

3

）i+yj，b=（x+

3

）i+yj，，且滿足|a|+|b|=4．
（1）求點P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）如果過點Q（0，m）且方向向量為c=（1，1）的直線l與點P的軌跡交于A，B兩點，當△AOB的面積取到最大值時，求m的值．

Answer 1

分析：（1）條件“|a|+|b|=4”可以看成是動點到兩定點的距離之和為4，聯(lián)想橢圓的定義解決“點P（x，y）的軌跡C”；
（2）△AOB的面積取到最大值問題，要先建立關于某個自變量的函數(shù)，后再求此函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）∵a=（x-

3

）i+yj，
b=（x+

3

）i+yj且|a|+|b|=4，
∴點P（x，y）到點（

3

，0），（-

3

，0）的距離之和為4，
故點P的軌跡方程為

x2

4

+y²=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）依題意得，直線AB的方程y=x+m，代入橢圓方程，得5x²+8mx+4m²-4=0，
則x₁+x₂=-

8

5

m，x₁•x₂=

4

5

（m²-1），
又O點到AB的距離d=

|m|

2

，
因此，S_△AOB=

1

2

|AB|•d
=

1

2

•

(1+1)[(x1+x2) 2-4x1x2]

•

|m|

2

=

2

5

(5-m)2•m2

，
∴當5-m²=m²時，即m=±

10

2

時，S_max=1．

點評：（1）平面向量與解析幾何的結合通常涉及軌跡等問題的處理，目標是將幾何問題坐標化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運算，或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關問題．
（2）直線l與點P的軌跡的交點問題，組成方程組解決．