【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求的最大值；

（2）若只有一個極值點.

（i）求實數(shù)的取值范圍；

（ii）證明：.

【答案】(1) 最大值為-1. (2) （i）（ii）證明見解析

【解析】

（1）當(dāng)時，，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值；

（2）由，得到，分和討論，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案.

（1）當(dāng)時，，.

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∴，故的最大值為-1.

（2），.

①當(dāng)時，在恒成立，則在單調(diào)遞增.

而，當(dāng)時，，

則，且，∴使得.

∴當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，∴只有唯一極值點.

②當(dāng)時，

當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，∴.

（i）當(dāng)即時，在恒成立，則在單調(diào)遞減，無極值點，舍去.

（ii）當(dāng)即時，.

又，且，∴使得.

由（1）知當(dāng)時，，則

∴

則，且，∴使得.

∴當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，則單調(diào)遞減.

∴有兩個極值點，，舍去.

綜上，只有一個極值點時，

∵，∴，

∴，.

令，∴，則在單調(diào)遞減

∴當(dāng)時，，∴.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）用表示，中的較大者，記函數(shù)．若函數(shù)在內(nèi)恰有2個零點，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在兩個極值點，證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點，為的中點，在線段上，且。將沿折起，使點到的位置（如圖2所示），且。

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，平面，平面，四邊形是邊長為的菱形，，，.

（1）證明：平面；

（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，當(dāng)時，都有.

（1）若，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若為周期函數(shù)，證明：是常值函數(shù)；

（3）若

①記，求數(shù)列的通項公式；

②求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點，是與的交點．將沿折起到的位置，如圖．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若偶函數(shù)y=f（x）(滿足f（1+x）=f（1-x），且當(dāng)時，，則函數(shù)g（x）=f（x）-的零點個數(shù)為_________個．

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【題目】為慶祝新中國成立70周年，某市工會組織部分事業(yè)單位職工舉行“迎國慶，廣播操比賽”活動.現(xiàn)有200名職工參與了此項活動，將這200人按照年齡（單位：歲）分組：第一組[15，25)，第二組[25，35)，第三組[35，45)，第四組[45，55)，第五組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.記事件A為“從這200人中隨機抽取一人，其年齡不低于35歲”，已知P（A）=0.75.

（1）求的值；

（2）在第二組、第四組中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人作為活動的負責(zé)人，求這2人恰好都在第四組中的概率.

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