Question

【題目】為美化環(huán)境，某市計劃在以、兩地為直徑的半圓弧上選擇一點建造垃圾處理廠（如圖所示）.已知、兩地的距離為，垃圾場對某地的影響度與其到該地的距離有關(guān)，對、兩地的總影響度對地的影響度和對地影響度的和.記點到地的距離為，垃圾處理廠對、兩地的總影響度為.統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對地的影響度與其到地距離的平方成反比，比例系數(shù)為；對地的影響度與其到地的距離的平方成反比，比例系數(shù)為.當(dāng)垃圾處理廠建在弧的中點時，對、兩地的總影響度為.

（1）將表示成的函數(shù)；

（2）判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對、兩地的總影響度最小？若存在，求出該點到地的距離；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）當(dāng)點到點的距離為時，垃圾處理廠對兩地的總影響度最小.

【解析】

（1）根據(jù)題意建立含參數(shù)的函數(shù)解析式，將時代入，求得，即可求得函數(shù)解析式;

（2）利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，即可求得答案.

解：（1）由題意，，

則，

其中，當(dāng)時，，故，

∴.

（2）存在.由（1）可得 ，

令得，

當(dāng)時，，故函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，故函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，

故時，函數(shù)有最小值.

即當(dāng)點到點的距離為時，垃圾處理廠對兩地的總影響度最小.

（另解：此問也可用基本不等式求最值）