Question

（2012•包頭三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E為AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F(xiàn)為線段A′D的中點(diǎn)
（I）求證：EF∥平面A′BC；
（II）求三棱錐A′-BCE的體積．

Answer 1

分析：（I）取A′C的中點(diǎn)M，連接MF，MB，利用題設(shè)條件推導(dǎo)出四邊形EBMF為平行四邊形，從而得到EF∥MB，由此能夠證明EF∥平面A′BC．
（II）過A′作A′S⊥DE，S為垂直足，由題設(shè)條件推導(dǎo)出A′S⊥平面BCDE，再由AB=4，AD=2，得到A′S=

2

，由此能求出三棱錐A′-BCE的體積．

解答：解：（I）取A′C的中點(diǎn)M，連接MF，MB，
∵在矩形ABCD中E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段A′D的中點(diǎn)，
∴EB

∥

.

1

2

DC，F(xiàn)M

∥

.

1

2

DC，
∴FM

∥

.

EB，∴四邊形EBMF為平行四邊形，
∴EF∥MB，
∵EF?平面A′BC，MB?平面A′BC，
∴EF∥平面A′BC．
（II）過A′作A′S⊥DE，S為垂直足，
∵平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE=DE，
∴A′S⊥平面BCDE，
∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，∴A′S=

2

，
∴VA′-BCE=

1

3

S△BEC•A′S=

1

3

×

1

2

×2×2×

2

=

2 2

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問題為平面問題．