Question

已知，函數(shù)。

（I）記求的表達式；

（II）是否存在，使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點，在該兩點處的切線相互垂直？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（I）（II）

【解析】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，.

因此，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；

若，則在上單調(diào)遞減，；

若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，從而；當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上所訴，；

（2）由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故不滿足要求；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 若存在，使曲線在、兩點處的切線相互垂直，則，且，即，亦即*；由得，故*成立等價于集合與集合的交集非空；因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，綜上所訴a的取值范圍是