如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系O-xyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上．

(1)當點P為對角線AB的中點，點Q在棱CD上運動時，探究的最小值；

(2)當點Q為棱CD的中點，點P在對角線AB上運動時，探究的最小值；

(3)當點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，探究的最小值．

由以上問題，你得到了什么結(jié)論，你能證明你的結(jié)論嗎？

答案：略
解析：

解：設正方體的棱長為a．

(1)當點P為對角線AB的中點時，點P的坐標是

因為點Q在線段CD上，設Q(0，a，z)．

當時，的最小值為，即點Q在CD的中點時，有最小值．

(2)因為P在對角線AB上運動，Q是定點，所以當PQ⊥AB時，最短．因為當點Q為棱CD的中點時，△QAB是等腰三角形，所以，當P是AB的中點時，取得最小值．

(3)當點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，的最小值仍然是．

證明如下：如圖，設由正方體的對稱性，顯然有x=y．

設P在平面OA上的射影是H．在△AOB中，所以即有

所以，點P的坐標是

由已知，可設則

當時，取得最小值，最小值是．


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如圖，以正方體的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系O－xyz，點P在對角線AB上運動，點Q為棱CD的中點，探求|PQ|的最小值．

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(1)當點P為對角線AB的中點，點在Q在棱CD上運動時，探究|PQ|的最小值；

(2)當點Q為棱CD的中點，點P在對角線上運動時，探究|PQ|的最小值．

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當點為對角線的中點，點在棱上運動時，探究的最小值；

當點為棱的中點，點在對角線上運動時，探究的最小值；

當點在對角線上運動，點在棱上運動時，探究的最小值．

由以上問題，你得到了什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？

 


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