Question

若數(shù)列滿足且（其中為常數(shù)），是數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足.

（1）求的值；

（2）試判斷是否為等差數(shù)列，并說明理由；

（3）求（用表示）.

 

Answer 1

（1）;（2）當時，數(shù)列為等差數(shù)列；當時，數(shù)列不為等差數(shù)列;（3）

 

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意取時，即得，可求出 ；（2）由題中所給條件： ，結(jié)合題中目標不難得到：，兩式相加后得： ，即，再替換一下即可得：，聯(lián)想與等差數(shù)列列的定義可得：，再單獨考慮一下前三項即：當且僅當，，為等差數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，可求得，即可得出結(jié)論；（3）由題中所給條件，可替換得，進一步可化簡得： ，即，這樣就可求出： ，即可得： ；而再由（2）中所求，又因為，則可得， ，由，這樣就可求出另外三種情形： ，，，即問題可求解．

（1）由題意，得，. 4分

（2），，

，即，，

，于是當且僅當，，為等差數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列， 7分

又，， ，，

，，，由，，為等差數(shù)列，得，

當時，數(shù)列為等差數(shù)列；當時，數(shù)列不為等差數(shù)列. 10分

（3），，

，即，

，

，，

. 13分

由（2），，， ，

由，，，

又，，,

，，，

16分

考點：1.等差數(shù)列的定義;2.數(shù)列的遞推關(guān)系;3.代數(shù)式的處理能力