已知函數(shù)f(x)=x3+ax•2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3,又坐標(biāo)原點(diǎn)到切線l的距離為.若時(shí),y=f(x)有極值.
(1)求a、b、c的值;
(2)設(shè)g(x)=x3+k+8lnx,若關(guān)于x的方程f(x)=g(x)在[1,e]內(nèi)有且只有一個實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】分析:(1)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,對其進(jìn)行求導(dǎo),求出其在x=1處的斜率,求出其極值點(diǎn),然后求出切線l的解析式,再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離,切線l不過第四象限,得到m、a、b、c的值;
(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,方程f(x)=g(x)可化為:2x2-4x-81nx+5=k,設(shè)h(x)=2x2-4x-8lnx+5(x>0),對其進(jìn)行求導(dǎo),得到其單調(diào)區(qū)間,從而求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解答:解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b.
當(dāng)x=1時(shí),切線l的斜率為3,可得2a+b=0.…①
當(dāng)時(shí),y=f(x)有極值,則,可得4a+3b+4=0…②
由①、②解得a=2,b=-4.設(shè)切線l的方程為y=3x+m
由原點(diǎn)到切線l的距離為,則
解得m=±1
∵切線l不過第四象限,
∴m=1,
∴切線方程為y=3x+1,
由于l切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1,
∴f(1)=4,
∴1+a+b+c=4,
∴c=5
∴a=2,b=-4,c=5
(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,
方程f(x)=g(x)可化為:2x2-4x-81nx+5=k.
設(shè)h(x)=2x2-4x-8lnx+5(x>0),

令h(x)=0,得x=2(負(fù)值舍去).
x[1,2)2(2,e]
h'(x)-O+
h(x)
極小值
∴h(x)在x=2處取得極小值h(2)=5-8ln2.
又h(1)=3,h(e)=2e2-4e-3,且h(e)<h(1).
∴h(x)的大致圖象如右圖:
∴由圖知,當(dāng)k=5-8ln2或2e2-4e-3<k≤3時(shí),方程f(x)=g(x)在[1,e]內(nèi)有且只有一個實(shí)數(shù)根.
點(diǎn)評:此題主要考查導(dǎo)數(shù)研究區(qū)間的點(diǎn)的切線及其單調(diào)區(qū)間,還考查了點(diǎn)到直線的距離,有一定的難度,此題是一道綜合題;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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