Question

高為

2

的四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，底面ABCD的中心為O₁，外接球的球心為O，則異面直線(xiàn)SO₁與AB所成的最小角的余弦值為（　�。�

• A、

  2

  4

• B、

  2

  3

• C、

  10

  10

• D、

  3

  3

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間角

分析：由題意可知ABCD是小圓，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為

2

，四棱錐的高為

2

，推出高就是四棱錐的一條側(cè)棱，最長(zhǎng)的側(cè)棱就是球的直徑，然后利用勾股定理求出底面ABCD的中心O₁與頂點(diǎn)S之間的距離，取BC的中點(diǎn)M，連接SM，O1M，∠SO₁M或補(bǔ)角是異面直線(xiàn)SO₁與AB所成的角，運(yùn)用余弦定理即可求得．

解答： 解：由題意可知ABCD是正方形，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為

2

，四棱錐的高為

2

，點(diǎn)S，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，球的直徑為2，所以四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面，最長(zhǎng)的側(cè)棱就是直徑，
所以底面ABCD的中心O₁與頂點(diǎn)S之間的距離為：

( 2 )2+( 2 2 )2

=

10

2

．
取BC的中點(diǎn)M，連接SM，O₁M，
∠SO₁M或補(bǔ)角是異面直線(xiàn)SO₁與AB所成的角，
SO₁=

10

2

，O₁M=

1

2

，SM=

SA2+ 1 4 +1

=

13

2

，
由余弦定理得cos∠SO₁M=

10 4 + 1 4 - 13 4

2× 10 2 × 1 2

=-

10

10

．
故異面直線(xiàn)SO₁與AB所成的最小角的余弦值為

10

10

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查球的內(nèi)接多面體的知識(shí)，能夠正確推出四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面，最長(zhǎng)的側(cè)棱就是直徑是本題的關(guān)鍵，考查空間異面直線(xiàn)所成的角，以及邏輯推理能力，計(jì)算能力．