Question

若函數(shù)f（x）=2^2x+2^xa+a+1．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x）＞-3對任意的x∈[0，2]恒成立，求a的取值范圍；
（3）討論f（x）的零點的個數(shù)．

Answer 1

考點：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令t=2^x＞0，可得f（x）=g（t）=t²+at+a+1=(t+

a

2

)2+a+1-

a2

4

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求得g（t）在（0，+∞）上的值域．
（2）由題意可得f（x）在[0，2]上的最小值大于-3，即g（t）在[1，4]上的最小值大于-3．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求得g（t）在（0，+∞）上的最小值，即可求得a的范圍．
（3）f（x）的零點的個數(shù)，即函數(shù)g（t）=t²+at+a+1在（0，+∞）上的零點個數(shù)．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，得出結(jié)論．

解答： 解：（1）令t=2^x＞0，可得f（x）=g（t）=t²+at+a+1=(t+

a

2

)2+a+1-

a2

4

，
當(dāng)a≥0時，-

a

2

≤0，二次函數(shù)g（t）的圖象的對稱軸方程為t=-

a

2

，函數(shù)g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，g（t）＞g（0）=a+1，
故函數(shù)的值域為（a+1，+∞）．
當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)g（t）的圖象的對稱軸方程為t=-

a

2

＞0，函數(shù)g（t）的最小值為g（-

a

2

）=a+1-

a2

4

，
故函數(shù)的值域為[a+1-

a2

4

，+∞）．
（2）若f（x）＞-3對任意的x∈[0，2]恒成立，則f（x）在[0，2]上的最小值大于-3，
即g（t）在[1，4]上的最小值大于-3．
①當(dāng)a≥0時，由于g（t）在[1，4]上單調(diào)遞增，故g（t）的最小值為g（1）=2a+2，由2a+2＞-3，求得a＞-

5

2

，
綜合可得當(dāng)a≥0．
②當(dāng)-2≤a＜0，二次函數(shù)g（t）的圖象的對稱軸方程為t=-

a

2

（0，1]，g（t）在[1，4]上單調(diào)遞增，
函數(shù)g（t）的最小值為g（1）=2a+2，由2+2a＞-3，求得a＞-

5

2

，
綜合可得-2≤a＜0．
③當(dāng)-8＜a＜-2時，二次函數(shù)g（t）的圖象的對稱軸方程為t=-

a

2

∈（1，4），g（t）的最小值為g（-

a

2

）=a+1-

a2

4

，
由a+1-

a2

4

＞-3，求得2-2

5

＜a＜2+2

5

，綜合可得2-2

5

＜a＜-2．
④當(dāng)a≤-8，二次函數(shù)g（t）的圖象的對稱軸方程為t=-

a

2

≥4，g（t）在[1，4]上單調(diào)遞減，
g（t）的最小值為g（4）=5a+17，由5a+17＞-3，求得a＞-4，不滿足前提條件a≤-8，故舍去．
綜合①②③④可得，a≥2-2

5

．
（3）f（x）的零點的個數(shù)，即函數(shù)g（t）=t²+at+a+1在（0，+∞）上的零點個數(shù)．
①當(dāng)△=a²-4（a+1）＜0時，即2-2

2

＜a＜2+2

2

時，函數(shù)g（t）在（0，+∞）上的零點個數(shù)為0．
②當(dāng)a=2-2

2

或a=2+2

2

 時，△=0，再根據(jù)二次函數(shù)g（t）的圖象的對稱軸方程為t=-

a

2

，
可得當(dāng)a=2-2

2

時，t=-

a

2

＞0，函數(shù)g（t）在（0，+∞）上有唯一零點；當(dāng)a=2+2

2

 時，t=-

a

2

＜0，函數(shù)g（t）在（0，+∞）上沒有零點．
③當(dāng)a＜2-2

2

時，△＞0，由t=-

a

2

＞0，g（0）=a+1＞0，可得函數(shù)g（t）在（0，+∞）上有2個零點；
當(dāng)a＞2+2

2

 時，△＞0，由t=-

a

2

＜0，g（0）=a+1＞0，可得函數(shù)g（t）在（0，+∞）上沒有零點．
綜上可得，a＞2-2

2

時，函數(shù)g（t）在（0，+∞）上的零點個數(shù)為0；
當(dāng)a=2-2

2

時，函數(shù)g（t）在（0，+∞）上有唯一零點；
當(dāng)a＜2-2

2

時，函數(shù)g（t）在（0，+∞）上有2個零點．

點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，函數(shù)零點的個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．