在橢圓
+y2=1中,F(xiàn)
1、F
2為橢圓的左右焦點,過F
1和F
2分別作直線F
1A和F
2B,使得F
1A∥F
2B,連接F
2A和F
1B,兩直線交于點P,證明:PF
1+PF
2的定值.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:由已知條件推導(dǎo)出|PF
1|+|PF
2|=8-
,再由
F1(-,0),F(xiàn)2(,0),AF
1∥BF
2,推導(dǎo)出|AF
1|+|BF
2|=
,|AF
1|•|BF
2|=
,由此能夠證明|PF
1|+|PF
2|是定值.
解答:
證明:在橢圓
+y2=1中,F(xiàn)
1、F
2為橢圓的左右焦點,
∵過F
1和F
2分別作直線F
1A和F
2B,使得F
1A∥F
2B,
∴
=
,
∴
=
,
∴|PF
1|=
•|BF
1|,
由B點在橢圓上,得到|BF
1|+|BF
2|=4,
∴|PF
1|=
•|BF
1|=
•(4-|BF
2|),
同理|PF
2|=
(4-|AF
1|),
∴|PF
1|+|PF
2|=
•(4-|BF
2|)+
(4-|AF
1|)
=8-
,
∵
F1(-,0),F(xiàn)2(,0),AF
1∥BF
2,
∴設(shè)AF
1:x+
=my,BF
2:x-
=my,
設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),y
1>0,y
2>0,
由
,整理,得:
(
m2+4)y12-2
my
1-1=0,
∴
y1=,
∴AF
1=
=
=
,
同理,BF
2=
,
又由①②知|AF
1|+|BF
2|=
,
|AF
1|•|BF
2|=
∴|PF
1|+|PF
2|=8-
=8-
=
.
∴|PF
1|+|PF
2|是定值.
點評:本題考查兩數(shù)這和為定值的證明,解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知橢圓C:
+=1(a>b>0)的兩個焦點分別為F
1,F(xiàn)
2,離心率為
,且過點
(2,).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點F
1作直線l
1與橢圓交于M,N兩點,過點F
2作直線l
2與橢圓交于P,Q兩點,且直線l
1,l
2互相垂直,試問
+是否為定值?如果是,求出該定值;如果不是,求出其取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
橢圓G:
+=1(a>0,b>0 )與x軸交于A、B兩點,F(xiàn)是它的右焦點,若
•=-1且|OF|=1
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓G的上頂點為M,是否存在直線L,L交橢圓于P(x
1,y
1)、Q(x
2,y
2)兩點,滿足PQ⊥MF,且|PQ|=
,若存在,求直線L的方程,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
如圖,已知拋物線C:y
2=4x焦點為F,直線l經(jīng)過點F且與拋物線C相交于A,B兩點
(Ⅰ)若線段AB的中點在直線y=1上,求直線l的方程;
(Ⅱ)若線段|AB|=20,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知橢圓M:
+
=1(a>b>0)的一個頂點A的坐標(biāo)是(0,-1),且右焦點Q到直線x-y+2
=0的距離為3.
(1)求橢圓方程;
(2)試問是否存在斜率為k(k≠0)的直線l,使l與橢圓M有兩個不同的交點B、C,且|AB|=|AC|?若存在,求出k的范圍,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
若實數(shù)x,y滿足
,則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
若等邊△ABC的邊長為1,平面內(nèi)一點M滿足
=+,則
•=
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
給出下列命題:
①若A,B是銳角△ABC的兩內(nèi)角,則有sinA>cosB;
②在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=sinx與y=lgx的交點個數(shù)為2個;
③如果
=-5,那么tan α的值為-
;
④存在實數(shù)x,使得等式
sinx+cosx=成立;
⑤若0<x≤1,則
<其中正確的命題為
(寫出所有正確命題的序號).
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