Question

5．若直線y=kx+b是曲線y=lnx+1的切線，也是曲線y=ln（x+2）的切線，則b=ln2．

Answer 1

分析 先設(shè)切點(diǎn)，然后利用切點(diǎn)來尋找切線斜率的聯(lián)系，以及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，綜合聯(lián)立求解即可

解答 解：設(shè)y=kx+b與y=lnx+1和y=ln（x+2）的切點(diǎn)分別為（x₁，lnx₁+1）、（x₂，ln（x₂+2））；
∵y=lnx+1，y=ln（x+2）
∴y′=$\frac{1}{x}$，y′=$\frac{1}{x+2}$，
∴k=$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{x}_{2}+2}$，
∴x₁-x₂=2，
切線方程分別為y-（lnx₁+1）=$\frac{1}{{x}_{1}}$（x-x₁），即為y=$\frac{x}{{x}_{1}}$+lnx₁，
或y-ln（x₂+2）=$\frac{1}{{x}_{2}+2}$（x-x₂），即為y=$\frac{x}{{x}_{1}}$+$\frac{2-{x}_{1}}{{x}_{1}}$+lnx₁，
∴$\frac{2-{x}_{1}}{{x}_{1}}$=0，
解得x₁=2，
∴b=ln2
故答案為：ln2

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查計(jì)算能力，是中檔題．