Question

設數列滿足，.
（1）求；
（2）先猜想出的一個通項公式，再用數學歸納法證明你的猜想.

Answer 1

（1）５，７，９；（2）猜想；證明祥見解析．

試題分析：（1）由已知等式：令n=1，再將代入即可求得的值；再令n=2并將的值就可求得的值；最后再令n=2并將的值就可求得的值；（2）由已知及（1）的結果，可猜想出的一個通項公式；用數學歸納法證明時應注意格式：①驗證時猜想正確；②作歸納假設：假設當時，猜想成立，在此基礎上來證明時猜想也成立，注意在此證明過程中要充分利用已知條件找出之間的關系，并一定要用到假設當時的結論；最后一定要下結論．
試題解析： （1）由條件，依次得，
，，                                  6分
（2）由（1），猜想.                                              7分
下用數學歸納法證明之：
①當時，，猜想成立；                                   8分
②假設當時，猜想成立，即有，                               9分
則當時，有，
即當時猜想也成立，                                               13分
綜合①②知，數列通項公式為.                                14分