Question

已知a₁=3，a_n-a_na_n+1=1（n∈N₊），A_n表示數(shù)列{a_n}的前n項之積，則A₂₀₁₀=________．

Answer 1

1
分析：利用a₁=3，a_n-a_na_n+1=1（n∈N₊），得到3-3a₂=1，；，；，a₄=3；…，所以數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列，且a₁•a₂•a₃=，由此能夠求出A₂₀₁₀．
解答：∵a₁=3，a_n-a_na_n+1=1（n∈N₊），
∴3-3a₂=1，
∴，
，
∴，
，
a₄=3，
∴數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列，
且a₁•a₂•a₃=，
∵2010=670×3，
∴A₂₀₁₀=（a₁•a₂•a₃）⁶⁷⁰=（-1）⁶⁷⁰=1．
故答案為：1．
點評：本題考查數(shù)列的遞推式的應用，解題時要先利用遞推公式求出前4項，仔細觀察得到的前四項能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列，且a₁•a₂•a₃=，這是正確解題的關(guān)鍵步驟．解題時要注意培養(yǎng)善于觀察、善于發(fā)現(xiàn)的能力．