Question

已知5只動(dòng)物中有且僅有1只患病，需要通過化驗(yàn)血液確定患病動(dòng)物．血檢呈陽性即為患病，否則沒患�。�現(xiàn)有以下兩種驗(yàn)血方案，每種驗(yàn)血方案都直到檢驗(yàn)出某動(dòng)物血液呈陽性為止．
甲：逐個(gè)隨機(jī)檢驗(yàn)．
乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)，若呈陽性，表明患病動(dòng)物在這3只之中，再對(duì)這3只逐個(gè)隨機(jī)檢驗(yàn)；否則，在另外兩只中逐個(gè)隨機(jī)檢驗(yàn)．
①甲、乙哪個(gè)方案能更快檢驗(yàn)出患病動(dòng)物；
②求依方案乙所需檢驗(yàn)次數(shù)不多于依方案甲所需檢驗(yàn)次數(shù)的概率．

Answer 1

分析：①甲方案檢到某動(dòng)物血液呈陽性所需要檢驗(yàn)次數(shù)為ξ，乙方案檢到某動(dòng)物血液呈陽性所需要檢驗(yàn)次數(shù)為η，根據(jù)題意寫出兩個(gè)變量的可能取值，結(jié)合事件寫出概率，分布列和期望，比較兩種方法的快慢，得到結(jié)論．
②方案乙所需檢驗(yàn)次數(shù)不多于方案甲所需檢驗(yàn)次數(shù)，包含三種情況，這三種情況是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率寫出結(jié)果．

解答：解：①甲方案檢到某動(dòng)物血液呈陽性所需要檢驗(yàn)次數(shù)為ξ，
乙方案檢到某動(dòng)物血液呈陽性所需要檢驗(yàn)次數(shù)為η，
依題意，
其中p(η=2)=

C 1 3

C 1 5

×

1

3

+

C 1 2

C 1 5

×

1

2

=0.4，
p(η=3)=

C 1 3

C 1 5

×

2

3

×

1

2

+

C 1 2

C 1 5

×

1

2

×

1

1

=0.4
p(η=4)=

C 1 3

C 1 5

×

2

3

×

1

2

×

1

1

=0.2．

Eξ=3，Eη=2.8．Eη＜Eξ，
∴乙方案能更快檢驗(yàn)出患病動(dòng)物．
②p(η≤ξ)=0.2×(

1

5

+

1

5

)+0.4×(

1

5

+

1

5

+

1

5

)+0.4×(

1

5

+

1

5

+

1

5

+

1

5

)=0.64，
即依方案乙所需檢驗(yàn)次數(shù)不多于依方案甲所需檢驗(yàn)次數(shù)的概率為0.64．

點(diǎn)評(píng)：本題是不同概型、不同隨機(jī)變量分析比較的概率問題，解題的關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量及其分布列，知道是對(duì)哪個(gè)數(shù)字特征進(jìn)行比較，再相應(yīng)地計(jì)算比較．本題僅適合理科學(xué)生．