Question

（04年福建卷）（12分）

某企業(yè)2003年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降。若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤(rùn)為500(1+)萬(wàn)元（n為正整數(shù)）。

（Ⅰ）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為A_n萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為B_n萬(wàn)元（須扣除技術(shù)改造資金），求A_n、B_n的表達(dá)式；

（Ⅱ）依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？

Answer 1

解析：（Ⅰ）依題設(shè)，A_n=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n²；

B_n=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]-600=500n--100.

（Ⅱ）B_n-A_n=(500n--100)-(490n-10n²)

=10n²+10n--100=10[n(n+1)- -10].

因?yàn)楹瘮?shù)y=x(x+1)- -10在（0，+∞）上為增函數(shù)，

當(dāng)1≤n≤3時(shí)，n(n+1)- -10≤12--10<0；

當(dāng)n≥4時(shí)，n(n+1)- -10≥20--10>0.

∴僅當(dāng)n≥4時(shí)，B_n>A_n.

答：至少經(jīng)過(guò)4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn).