Question

已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，點、分別是橢圓的右、右頂點，若橢圓經(jīng)過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知是橢圓的右焦點，以為直徑的圓記為，過點引圓的切線，求此切線的方程；

（3）設(shè)為直線上的點，是圓上的任意一點，是否存在定點，使得？若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）存在定點

【解析】

試題分析：（Ⅰ）依題意，，

所以橢圓的方程為，

代入D點坐標，解得，由此得，

所以橢圓的方程為．                     （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故圓的方程為，

則由知，點在圓上，

因為，所以切線的斜率為，

故所求切線的方程為，

即．                           （8分）

（Ⅲ）設(shè)，假設(shè)存在點滿足題意，

則，

點在圓C：上，，

化簡得，

因為該式對任意的恒成立，則解得

故存在定點對于直線上的點及圓上的任意一點使得成立．                           （12分）

考點：本題考查了橢圓方程及直線與圓的位置關(guān)系

點評：從近幾年課標地區(qū)的高考命題來看，解析幾何綜合題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系以及范圍、最值、定點、定值、存在性等問題，直線與多種曲線的位置關(guān)系的綜合問題將會逐步成為今后命題的熱點，尤其是把直線和圓的位置關(guān)系同本部分知識的結(jié)合，將逐步成為今后命題的一種趨勢.近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)了以函數(shù)、平面向量、導數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何、數(shù)學思想方法等知識為背景，綜合考查運用圓錐曲線的有關(guān)知識分析問題、解決問題的能力，試題風格每年都有所創(chuàng)新，但總體穩(wěn)定.