16.已知過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為2$\sqrt{2}$的直線交拋物線于A(x1,y1)和B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|=$\frac{9}{2}$.(1)求拋物線C的方程;
(2)若拋物線C的準(zhǔn)線為l,焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為直線m:x+y-2=0上的動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a,試討論當(dāng)a取不同的值時(shí),圓心在拋物線C上,與直線l相切,且過(guò)點(diǎn)P的圓的個(gè)數(shù).

分析 (1)直線AB的方程為y=2$\sqrt{2}$(x-$\frac{p}{2}$),代入y2=2px可得8x2-10px+2p2=0,利用韋達(dá)定理及拋物線的定義、弦長(zhǎng)公式|AB|=x1+x2+p,求出p,即可求拋物線C的方程;
(2)設(shè)P(a,2-a),則過(guò)P與直線m:x+y-2=0垂直的直線方程為y=x+2-2a,與y2=4x聯(lián)立,利用判別式,即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F($\frac{p}{2}$,0),準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$
∴直線AB的方程為y=2$\sqrt{2}$(x-$\frac{p}{2}$),
代入y2=2px可得8x2-10px+2p2=0
∴x1+x2=$\frac{5}{4}$p,
由拋物線的定義可知,|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=$\frac{9}{4}$p=$\frac{9}{2}$,
∴p=2,
∴拋物線C的方程為y2=4x;
(2)設(shè)P(a,2-a),則過(guò)P與直線m:x+y-2=0垂直的直線方程為y=x+2-2a,
與y2=4x聯(lián)立,可得x2-4ax+4-8a+4a2=0,
∴△=16a2-4(4-8a+4a2)=32a-16,
∴△>0,a>$\frac{1}{2}$,滿足條件的圓的個(gè)數(shù)是2個(gè);△=0,a=$\frac{1}{2}$,滿足條件的圓的個(gè)數(shù)是1個(gè);△<0,a<$\frac{1}{2}$,滿足條件的圓的個(gè)數(shù)是0個(gè).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查直線與拋物線相交問(wèn)題、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題、弦長(zhǎng)公式,屬于中檔題.

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