Question

9．若|$\overrightarrow{AB}$|=1，若|$\overrightarrow{CA}$|=2|$\overrightarrow{CB}$|，則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的最大值為2．

Answer 1

分析 分A，B，C三點共線與不共線兩種情況進行討論．

解答 解：（1）若A，B，C三點共線，
當$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$同向時，CA=2，CB=1，∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=2×1×cos0=2；
當$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$反向時，CA=$\frac{2}{3}$，CB=$\frac{1}{3}$，∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×cosπ$=-$\frac{2}{9}$．
（2）若A，B，C三點不共線，設(shè)BC=x，則AC=2x，AB=1．
由余弦定理得cosC=$\frac{{x}^{2}+4{x}^{2}-1}{4{x}^{2}}$=$\frac{5{x}^{2}-1}{4{x}^{2}}$.0＜C＜180°，
∴x²=$\frac{1}{5-4cosC}$．
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=2x²cosC=$\frac{2cosC}{5-4cosC}$．
∴當-1＜cosC≤0時，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$≤0，
當0＜cosC＜1時，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=$\frac{2cosC}{5-4cosC}$=$\frac{2}{\frac{5}{cosC}-4}$＜$\frac{2}{5-4}=2$．
綜上，$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的最大值為2．
故答案為：2．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，分情況討論思想，屬于中檔題．