【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=AA1=2,AB=BC=2 ,∠AA1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA1C1C,AC1與A1C相交于點D.
(1)求證:BC1⊥平面AA1C1C;
(2)求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值.
【答案】
(1)解:∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=AA1=2,AB=BC=2 ,∠AA1C1=60°,
∵AC=AA1,∴AA1=A1C1,
∵∠AA1C1=60°,∴△AA1C1為等腰三角形,
同理△ABC1是等腰三角形,
∵D為AC1的中點,∴BD⊥AC1,
∵平面ABC1⊥平面AA1C1C,所以過B作平面AA1C1C的垂線,垂足在AC1上,
三角形ABC是等腰三角形,取AC的中點E,連結CE,EB,可知BE⊥AC,C1E⊥AC,所以AC⊥平面BEC1,
過B作平面AA1C1C的垂線,垂足在EC1上,可得垂足是C1.
∴BC1⊥平面AA1C1C
(2)解:由(1)可得C1B=2,以點D為坐標原點,DA、DC、DM分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,M為AB的中點,A(1,0,0);B(﹣1,0,2)C(0, ,0),D(0,0,0),
平面ABC1的一個法向量為 =(0,1,0),設平面ABC的法向量為 =(x,y,z),
由題意可得 =(﹣1, ,0), =(﹣2,0,2),則 ,
所以平面ABC的一個法向量為 =( ,1, ),
∴cosθ= = =
即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于 .
【解析】(1)說明過B作平面AA1C1C的垂線,垂足在AC1上,取AC的中點E,連結CE,EB,說明過B作平面AA1C1C的垂線,垂足在EC1上,推出垂足是C1 . 然后證明結論.(2)以點D為坐標原點,DA、DC、DM分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,分別求出平面ABC1與平面ABC的法向量,從而可算出二面角C1﹣AB﹣C的余弦值.
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定,需要了解一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想才能得出正確答案.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)證明:f(x)存在唯一的極大值點x0 , 且e﹣2<f(x0)<2﹣2 .
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【題目】已知正△ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O,點P是圓O上的一個動點,則 的取值范圍是( )
A.[0,6]
B.[﹣2,6]
C.[0,2]
D.[﹣2,2]
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【題目】海關對同時從三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測,從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位:件)如下表所示,工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件進行檢測.
地區(qū) | |||
數(shù)量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求這6件樣品中來自各地區(qū)商品的數(shù)量;
(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進一步檢測,求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.
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【題目】下列說法正確的是( )
A. 兩個變量的相關關系一定是線性相關
B. 兩個隨機變量的線性相關線越強,則相關系數(shù)的絕對值就越接近于0
C. 在回歸直線方程中,當解釋變量每增加1個單位時,預報變量平均增加1個單位
D. 對分類變量與,隨機變量的觀測值越大,則判斷“與有關系”的把握程度越大
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2x+alnx(a>0).
(Ⅰ)當a=2時,試求函數(shù)圖線過點(1,f(1))的切線方程;
(Ⅱ)當a=1時,若關于x的方程f(x)=x+b有唯一實數(shù)解,試求實數(shù)b的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1、x2(x1<x2),且不等式f(x1)≥mx2恒成立,試求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)上的點到右焦點F的最小距離是 ﹣1,F(xiàn)到上頂點的距離為 ,點C(m,0)是線段OF上的一個動點.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點,使得( + )⊥ ,并說明理由.
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【題目】為加快新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展,推進節(jié)能減排,國家對消費者購買新能源汽車給予補貼,其中對純電動乘用車補貼標準如表:
新能源汽車補貼標準 | |||
車輛類型 | 續(xù)駛里程R(公里) | ||
100≤R<180 | 180≤R<280 | <280 | |
純電動乘用車 | 2.5萬元/輛 | 4萬元/輛 | 6萬元/輛 |
某校研究性學習小組,從汽車市場上隨機選取了M輛純電動乘用車,根據(jù)其續(xù)駛里程R(單次充電后能行駛的最大里程)作出了頻率與頻數(shù)的統(tǒng)計表:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
100≤R<180 | 3 | 0.3 |
180≤R<280 | 6 | x |
R≥280 | y | z |
合計 | M | 1 |
(1)求x、y、z、M的值;
(2)若從這M輛純電動乘用車任選3輛,求選到的3輛車續(xù)駛里程都不低于180公里的概率;
(3)如果以頻率作為概率,若某家庭在某汽車銷售公司購買了2輛純電動乘用車,設該家庭獲得的補貼為X(單位:萬元),求X的分布列和數(shù)學期望值E(X).
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【題目】設,函數(shù).
(1)當時,求在上的單調(diào)區(qū)間;
(2)設函數(shù),當有兩個極值點時,總有,求實數(shù)的值.
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