Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于（0，0），（2，0）且有最大值為1．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=|f（x）|，畫出g（x）的大致圖象，并指出g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若方程g（x）=m恰有四個不同的解，根據(jù)圖象指出實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由二次函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于（0，0），（2，0）可設(shè)出函數(shù)的交點式（兩點式）方程，然后根據(jù)函數(shù)y=f（x）有最大值1，可求出a值，進而得到y(tǒng)=f（x）的解析式；
（2）由g（x）=|f（x）|，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)圖象的對折變換法則，即可得到函數(shù)g（x）的圖象，進而得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)（2）中函數(shù)g（x）的圖象，分析出m取不同值時，函數(shù)圖象與直線y=m的交點的個數(shù)，易得方程g（x）=m恰有四個不同的解時，實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于（0，0），（2，0）
設(shè)f（x）=ax（x-2）
又∵f（x）有最大值1，則a＜0，且-a=1，則a=-1，
∴f（x）=-x（x-2）；
（2）二次函數(shù)y=f（x）的圖象如下圖所示：

由圖象可知g（x）的增區(qū)間為（0，1），（2，+∞），減區(qū)間為（-∞，0），（1，2）；
（3）因為方程g（x）=m的解是g（x）的圖象與直線y=m的交點的橫坐標，
方程g（x）=m恰有四個解，說明g（x）的圖象與直線y=m恰有四個交點，
由圖象可知0＜m＜1．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中畫出函數(shù)的圖象然后利用數(shù)形結(jié)合的思想進行解答，是此類問題的解答關(guān)鍵．