Question

8．已知關(guān)于x的方程x²+2alog₂（x²+2）+a²-2=0有唯一解，則實(shí)數(shù)a的值為$\sqrt{3}-1$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)得到方程的根為0，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)f（x）=x²+2alog₂（x²+2）+a²-2，
則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
若方程x²+2alog₂（x²+2）+a²-2=0有唯一解，
則等價(jià)為f（x）=0有唯一的解x=0，
則2alog₂2+a²-2=2a+a²-2=0，
得a=-1±$\sqrt{3}$，
當(dāng)a=$\sqrt{3}-1$時(shí)，f（x）=x²+2（$\sqrt{3}-1$）log₂（x²+2）+2-2$\sqrt{3}$在[0，+∞）上為增函數(shù)，滿足條件．
當(dāng)a=-$\sqrt{3}-1$時(shí)，f（x）=x²+2（-$\sqrt{3}-1$）log₂（x²+2）+2+2$\sqrt{3}$，
f（2）=-2$\sqrt{3}$＜0，f（$\sqrt{30}$）=20-10$\sqrt{3}$＞0，∴此時(shí)不止一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件．
故答案為：$\sqrt{3}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)得到方程的根是解決本題的關(guān)鍵．