Question

7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2ccosA+a=2b
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求a，b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，三角形內(nèi)角和定理化簡已知等式可得sinA=2sinAcosC，由于sinA≠0，解得$cosC=\frac{1}{2}$，又C是三角形的內(nèi)角，即可得解C的值．
（Ⅱ）利用三角形面積公式可求ab=4，又由余弦定理可解得a+b=4，聯(lián)立即可解得a，b的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，
∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…（2分）
∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），
即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴sinA=2sinAcosC，
∴$cosC=\frac{1}{2}$，
又∵C是三角形的內(nèi)角，
∴$C=\frac{π}{3}$…（6分）
（Ⅱ）∵${S_{△ABC}}=\sqrt{3}$，∴$\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，∴ab=4，…（9分）
又∵c²=a²+b²-2abcosC，
∴4=（a+b）²-2ab-ab，
∴a+b=4，
∴a=b=2．…（12分）

點評 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．