Question

4．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=$\frac{π}{2}$，AB=AC=AA₁=1，延長A₁C₁至點(diǎn)P，使C₁P=A₁C₁，連結(jié)AP交棱CC₁于點(diǎn)D．求：
（1）直線PB₁與A₁B所成角的余弦值；
（2）二面角A-A₁D-B的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A₁為原點(diǎn)，A₁B₁為x軸，A₁C₁為y軸，A₁A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線PB₁與A₁B所成角的余弦值．
（2）求出平面A₁DB的法向量和平面AA₁D的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁D-B的平面角的正弦值．

解答 解：（1）以A₁為原點(diǎn)，A₁B₁為x軸，A₁C₁為y軸，A₁A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，2，0），B₁（1，0，0），B（1，0，1），A₁（0，0，0），
$\overrightarrow{P{B}_{1}}$=（1，-2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，1），
設(shè)直線PB₁與A₁B所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{P{B}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}B}|}{|\overrightarrow{P{B}_{1}}|•|\overrightarrow{{A}_{1}B}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴直線PB₁與A₁B所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（2）D（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，1），
設(shè)平面A₁DB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=x+z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2），
平面AA₁D的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)二面角A-A₁D-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$，sin$θ=\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴二面角A-A₁D-B的平面角的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運(yùn)用．