Question

【題目】大慶實驗中學在高二年級舉辦線上數學知識競賽，在已報名的400名學生中，根據文理學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（1）估算一下本次參加考試的同學成績的中位數和眾數；

（2）已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區(qū)間[40，50)內的人數；

（3）已知樣本中有一半理科生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的文理科生人數相等.試估計總體中理科生和文科生人數的比例.

Answer 1

【答案】（1）中位數為72.5，眾數為75（2）20（3）3∶2

【解析】

（1）算出每組的概率，進而找到50%落在哪個組，代入計算即可求解中位數，眾數很明顯在最高出中間位置產生；（2）先算出總體多少人再乘以[40，50)的概率即可求解；（3）先算出總共分數不小于70的人數， 從而算出樣本中分數不小于70的理科生人數，再得到文科生人數即可求解。

解析：（1）可以估計出中位數為72.5，眾數為75.

（2）根據題意，樣本中分數不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，

分數在區(qū)間[40，50)內的人數為100－100×0.9－5＝5.

所以總體中分數在區(qū)間[40，50)內的人數估計為400×＝20.

（3）由題意可知，樣本中分數不小于70的學生人數為(0.02＋0.04)×10×100＝60，

所以樣本中分數不小于70的理科生人數為60×＝30.所以樣本中的理科生人數為30×2＝60，文科生人數為100－60＝40，

所以根據分層抽樣原理，總體中理科生和文科生人數的比例估計為60∶40＝3∶2.