Question

（2013•淄博一模）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，P為DN的中點．
（Ⅰ）求證：BD⊥MC；
（Ⅱ）在線段AB是否存在點E，使得AP∥平面NEC，若存在，說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）易得BD⊥AC，MA⊥平面ABCD，進而可得MA⊥BD，結合AC∩MA=A，由線面垂直的判定可得BD⊥平面AMC，進而可得結論；（2）當E為線段AB中點時，會使AP∥平面NEC，取NC中點F，可證四邊形AEPF為平行四邊形，可得AP∥EF，由線面垂直的判定可得結論．

解答：解：（Ⅰ）因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
又ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，所以MA⊥平面ABCD，
所以MA⊥BD，又因為AC∩MA=A，由線面垂直的判定可得BD⊥平面AMC
又因為AC?平面AMC，所以BD⊥MC；
（2）當E為線段AB中點時，會使AP∥平面NEC，下面證明：
取NC中點F，連接EF，PF，可得AE∥CD，且AE=

1

2

CD，
由三角形的中位線可知，PF∥CD，且PF=

1

2

CD，
故可得AE∥PF，且AE=PF，即四邊形AEPF為平行四邊形，
故可得AP∥EF，又AP?平面NEC，EF?平面NEC，
所以AP∥平面NEC，
故當E為線段AB中點時，會使AP∥平面NEC

點評：本題考查直線與平面平行的判定，以及直線與直線垂直的證明，屬中檔題．