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16.若x+y1x+ay16對(duì)任意x,y∈R*恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為( �。�
A.2B.4C.6D.9

分析 不等式(x+y)(1x+ay)≥16對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y恒成立,可知:16≤[(x+y)(1x+ay)]min.令f(x)=(x+y)(1x+ay),(a>0).利用基本不等式即可得出其最小值.

解答 解:∵不等式(x+y)(1x+ay)≥16對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y恒成立,
∴16≤[(x+y)(1x+ay)]min
令f(x)=(x+y)(1x+ay)(a>0).
則f(x)=a+1+axy+yx≥a+1+2 axyyx=a+1+2a.當(dāng)且僅當(dāng)y=ax取等號(hào).
∴a+1+2a≥16,解得a≥9.
因此正實(shí)數(shù)a的最小值為9.
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化、基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.

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