Question

16．若$（{x+y}）（{\frac{1}{x}+\frac{a}{y}}）≥16$對(duì)任意x，y∈R^*恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 9

Answer 1

分析 不等式（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）≥16對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y恒成立，可知：16≤[（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）]_min．令f（x）=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$），（a＞0）．利用基本不等式即可得出其最小值．

解答 解：∵不等式（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）≥16對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y恒成立，
∴16≤[（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）]_min．
令f（x）=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）（a＞0）．
則f（x）=a+1+$\frac{ax}{y}$+$\frac{y}{x}$≥a+1+2 $\sqrt{\frac{ax}{y}•\frac{y}{x}}$=a+1+2$\sqrt{a}$．當(dāng)且僅當(dāng)y=$\sqrt{a}$x取等號(hào)．
∴a+1+2$\sqrt{a}$≥16，解得a≥9．
因此正實(shí)數(shù)a的最小值為9．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．