Question

17．如圖，在半徑為30cm的半圓形鐵皮上截取一塊矩形材料A（點(diǎn)A，B在直徑上，點(diǎn)C，D在半圓周上），并將其卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱體罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗）．
（1）若要求圓柱體罐子的側(cè)面積最大，應(yīng)如何截��？
（2）若要求圓柱體罐子的體積最大，應(yīng)如何截��？

Answer 1

分析 （1）設(shè)BC=x，求出AB，得出側(cè)面積S關(guān)于x的函數(shù)，利用基本不等式得出S的最大值；
（2）用x表示出圓柱的底面半徑，得出體積V（x）關(guān)于x的函數(shù)，判斷V（x）的單調(diào)性，得出V（x）的最大值．

解答 解：（1）連接OC，設(shè)BC=x，則AB=2$\sqrt{900-{x}^{2}}$，（其中0＜x＜30），
∴S=2x$\sqrt{900-{x}^{2}}$=2 $\sqrt{{x}^{2}（900-{x}^{2}）}$≤x²+（900-x²）=900，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=900-x²，即x=15$\sqrt{2}$時(shí)，S取最大值900；
∴取BC=15$\sqrt{2}$cm時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大值為900cm²．
（2）設(shè)圓柱底面半徑為r，高為x，
則AB=2$\sqrt{900-{x}^{2}}$=2πr，解得r=$\frac{\sqrt{900-{x}^{2}}}{π}$，
∴V=πr²h=$\frac{1}{π}$（900x-x³），（其中0＜x＜30）；
∴V′=$\frac{1}{π}$（900-3x²），令V′（x）=0，得x=10$\sqrt{3}$；
因此V（x）=$\frac{1}{π}$（900x-x³）在（0，10 $\sqrt{3}$）上是增函數(shù)，在（10$\sqrt{3}$，30）上是減函數(shù)；
∴當(dāng)x=10$\sqrt{3}$時(shí)，V（x）取得最大值V（10$\sqrt{3}$）=$\frac{6000\sqrt{3}}{π}$，
∴取BC=10$\sqrt{3}$cm時(shí)，做出的圓柱形罐子體積最大，最大值為$\frac{6000\sqrt{3}}{π}$cm³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征，圓柱的側(cè)面積與體積計(jì)算，用不等式與函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值，屬于中檔題．