已知橢圓C：+=1，（a＞b＞0）與雙曲4x2-y2=1有相同的焦點(diǎn)，且橢C的離心e=，又A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，M為橢圓上任一點(diǎn)（異于A，B）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直MA交直x=4于點(diǎn)P，過P作直線MB的垂線x軸于點(diǎn)Q，Q的坐標(biāo)；
（3）求點(diǎn)P在直線MB上射R的軌跡方程．
【答案】分析：（1）先確定雙曲線中c的值，再利用橢圓的離心率，即可確定橢圓的方程；
（2）設(shè)M（x，y），P（4，z），則可得，利用PQ⊥MB及M在橢圓上，即可求Q的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在直線MB上射影即PQ與MB的交點(diǎn)H，由QH⊥HB得△HQB為直角三角形，從而可求H點(diǎn)的軌跡方程．
解答：解：（1）由題意知，雙曲線4x2-y2=1，∴c=1，
∵橢圓的離心率為e=，∴a=2，
∴b2=a2-c2=3
∴橢圓方程為           （3分）
（2）設(shè)M（x，y），P（4，z），則，得，故．
設(shè)Q（x，0），由PQ⊥MB得：，
又M在橢圓上，故x2=4-，化簡得，即Q（，0）（8分）
（3）點(diǎn)P在直線MB上射影即PQ與MB的交點(diǎn)H，由QH⊥HB得△HQB為直角三角形，
設(shè)E為QB中點(diǎn)，則|HE|=|QB|=，E（，0），
因此H點(diǎn)的軌跡方程為（13分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查軌跡方程，解題的關(guān)鍵是確定橢圓中的幾何量，利用垂直關(guān)系，建立等式，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C:+y2=1,則與橢圓C關(guān)于直線y=x成軸對稱的曲線的方程是____________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年陜西省高考數(shù)學(xué)壓軸卷（解析版） 題型：選擇題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2線與圓x2+y2=b2相切于點(diǎn)A，并與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)P，Q，如圖，PF1⊥PQ，若A為線段PQ的靠近P的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣西桂林市、崇左市、防城港市高考第一次聯(lián)合模擬理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

 如圖，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F、F，A是橢圓C上的一點(diǎn)，AF⊥FF，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，OB垂直AF于B，且OF=3OB.

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ）求t∈（0，b），使得命題“設(shè)圓x+y=t上任意點(diǎn)M（x，y）處的切線交橢圓C于Q、Q兩點(diǎn)，那么OQ⊥OQ”成立.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年四川省攀枝花市高三12月月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為

（1）求橢圓方程；

（2）若直線：與軸交于點(diǎn)T，P為上異于T的任一點(diǎn)，直線分別與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣東省高三上學(xué)期摸底考試文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本題滿分14分）已知橢圓C：=1(a＞b＞0)的離心率為，短軸一

 

個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過橢圓C上的動點(diǎn)P引圓O：的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點(diǎn)，試探究橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由點(diǎn)P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

 

 

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