Question

已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

	3	2	4
		0	4

（Ⅰ）求的標準方程；
（Ⅱ）請問是否存在直線滿足條件：①過的焦點；②與交不同兩點且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)拋物線，則有，據(jù)此驗證個
點知（3，）、（4，4）在拋物線上，易求     ………………2分
設(shè)：，把點（2，0）（，）代入得：
    解得
∴方程為 ………………………………………………………………6分
（Ⅱ）法一：假設(shè)存在這樣的直線過拋物線焦點，設(shè)直線的方程為兩交點坐標為，
由消去，得…………………………8分
∴    ①
                          ②     ………………………10分
由，即，得
將①②代入（*）式，得， 解得 …………………12分
所以假設(shè)成立，即存在直線滿足條件，且的方程為：或…………………………………………………………………………………14分
法二：容易驗證直線的斜率不存在時，不滿足題意；……………………………6分
當直線斜率存在時，假設(shè)存在直線過拋物線焦點，設(shè)其方程為，與的交點坐標為
由消掉，得 ， …………8分
于是 ，   ①

即  ② ………………………………10分
由，即，得
將①、②代入（*）式，得 ，解得；……12分
所以存在直線滿足條件，且的方程為：或．………14分

解析