Question

12．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）設(shè)∠CED=60°，AP=1，AD=$\sqrt{3}$，求三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD交AC于O點，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）由題意求得三角形CDE是以∠CDE為直角的直角三角形，然后結(jié)合已知求得CD，再由三棱錐體積公式求得答案．

解答 （Ⅰ）證明：連接BD交AC于O點，連接EO，
∵O為BD中點，E為PD中點，
∴EO∥PB，
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC；
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，
又AP=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴$PD=\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}=2$，
∵E為PD的中點，
∴DE=1，
由PA⊥平面ABCD，可得平面PAD⊥平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD=AD，且CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，則CD⊥ED，
在Rt△CDE中，
由DE=1，∠CED=60°，
∴CD=tan60°=$\sqrt{3}$，
則${V}_{E-ACD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，幾何體的體積的求法，考查邏輯思維能力，是中檔題．