Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由條件并利用余弦定理求出cosA=

1

2

，從而得到A=

π

3

．
（Ⅱ）利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的余弦公式化簡cosB+cosC 為sin(

π

6

+B)，由角B的范圍求出sin(

π

6

+B) 的范圍，即可得到cosC+cosB的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由acosC+

1

2

c=b得  a•

a2+b2-c2

2ab

+

1

2

c=b，
故有 a²=b²+c²-bc，∴cosA=

1

2

，在△ABC中，所以A=

π

3

．
（Ⅱ）cosB+cosC=cos(

2π

3

-B)+cosB=

3

2

sinB+

1

2

cosB=sin(

π

6

+B)．
∵0＜B＜

2π

3

，∴

π

6

＜

π

6

+B＜

5π

6

，∴

1

2

＜sin(

π

6

+B) ≤ 1，
∴cosC+cosB的取值范圍是(

1

2

，1]．

點(diǎn)評：本題主要考查余弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦、余弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．