Question

【題目】在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＞c，已知 =2，cosB= ，b=3，求：
（1）a和c的值；
（2）cos（B﹣C）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =2，cosB= ，

∴cacosB=2，即ac=6①，

∵b=3，

∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，

∴a2+c2=13②，

聯(lián)立①②得：a=3，c=2；

（2）解：在△ABC中，sinB= = = ，

由正弦定理 = 得：sinC= sinB= × = ，

∵a=b＞c，∴C為銳角，

∴cosC= = = ，

則cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC= × + × =

【解析】（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn) =2，將cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，聯(lián)立即可求出ac的值；（2）由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，進(jìn)而求出cosC的值，原式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式和余弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握兩角和與差的余弦公式：；余弦定理:;;才能正確解答此題．