Question

已知函數(shù)，.
（1）如果函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，求的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）

試題分析：解：（1）當(dāng)時，在上是單調(diào)增函數(shù)，不符合題意．…1分
當(dāng)時，的對稱軸方程為，由于在上是單調(diào)增函數(shù)，不符合題意．
當(dāng)時，函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)， 則，解得，
綜上，的取值范圍是．             4分
（2）把方程整理為，
即為方程.                 5分
設(shè) ，原方程在區(qū)間()內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根, 即為函數(shù)在區(qū)間()內(nèi)有且只有兩個零點.   ……6分
 7分
令，因為，解得或（舍）   8分
當(dāng)時, , 是減函數(shù)；
當(dāng)時, ，是增函數(shù).……10分
在()內(nèi)有且只有兩個不相等的零點, 只需 13分
即 ∴
解得, 所以的取值范圍是() ． 14分
點評：解決的關(guān)鍵是通過導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)但典型，進(jìn)而來解決方程根的問題，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。