Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4、且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5．過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M．
（1）求拋物線方程；
（2）過(guò)M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）拋物線的準(zhǔn)線為 ，于是 ，p=2，由此可知拋物線方程為y²=4x．
（Ⅱ）由題意得B，M的坐標(biāo)，，，直線FA的方程，直線MN的方程，由此可知點(diǎn)N的坐標(biāo)即可；
（Ⅲ）由題意得，圓M的圓心坐標(biāo)為（0，2），半徑為2．當(dāng)m=4時(shí)，直線AP的方程為x=4，此時(shí)，直線AP與圓M相離；當(dāng)m≠4時(shí)，寫出直線AP的方程，圓心M（0，2）到直線AP的距離，由此可判斷直線AP與圓M的位置關(guān)系．
解答：解：（1）拋物線，∴p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．
（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，4），由題意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0），∴，∴，
則FA的方程為y=（x-1），MN的方程為．*k*s*5*u
解方程組，∴．
（3）由題意得，圓M的圓心是點(diǎn)（0，2），半徑為2．
當(dāng)m=4時(shí)，直線AK的方程為x=4，此時(shí)，直線AK與圓M相離，
當(dāng)m≠4時(shí)，直線AK的方程為，即為4x-（4-m）y-4m=0，
圓心M（0，2）到直線AK的距離，令d＞2，解得m＞1∴當(dāng)m＞1時(shí)，直線AK與圓M相離；
當(dāng)m=1時(shí)，直線AK與圓M相切；
當(dāng)m＜1時(shí)，直線AK與圓M相交．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．