分析 ( 1)由于f(x)=14x+2,計算f(x)+f(1-x)即可證明.
(2)由(1)知f(x)+f(1−x)=12,利用“倒序相加”即可得出.
(3)由(2)知an=n+14,n∈N∗,可得an+1−an=14,(n∈N∗),利用等差數(shù)列的求和公式可得Sn,代入Sn≥λan(n∈N*)化簡,利用數(shù)列的單調性即可得出.
解答 解:(1)證明:∵f(x)=14x+2,
∴f(x)+f(1−x)=14x+2+141−x+2=14x+2+4x4+2•4x=2+4x2(2+4x)=12.
(2)由(1)知f(x)+f(1−x)=12,
故f(0)+f(1)=f(1n)+f(n−1n)=f(2n)+f(n−2n)=…=12,
an=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n−1n)+f(1),
又an=f(1)+f(n−1n)+f(n−2n)+…+f(0),
兩式相加得2an=[f(0)+f(1)]+[f(1n)+f(n−1n)]+[f(2n)+f(n−2n)]+…+[f(1)+f(0)]=12(n+1),
∴an=n+14,n∈N∗.
(3)由(2)知an=n+14,n∈N∗,∴an+1−an=14,(n∈N∗),
∴數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列,
∴Sn=n(a1+an)2=n(12+n+14)2=n(n+3)8,
{S_n}≥λ{a_n}⇒\frac{n(n+3)}{8}≥λ\frac{n+1}{4}⇒λ≤\frac{n(n+3)}{2(n+1)}=\frac{1}{2}[(n+1)-\frac{2}{n+1}+1],
又∵(n+1)-\frac{2}{n+1}+1在n∈N*上為遞增的函數(shù),∴當n=1時{[(n+1)-\frac{2}{n+1}+1]_{min}}=2,
則{S_n}≥λ{a_n}({n∈{N^*}})恒成立,實數(shù)λ的取值范圍為(-∞,1].
點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其求和公式、遞推關系、函數(shù)的性質、不等式的性質、“倒序相加”,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | \frac{5}{6} | C. | \frac{2}{3} | D. | \frac{5}{9} |
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