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6.已知函數(shù)f(x)=14x+2
(1)求證:f(x)+f(1-x)=12;
(2)設數(shù)列{an}滿足an=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n1n)+f(1),求an;
(3)設數(shù)列{an}的前項n和為Sn,若Sn≥λan(n∈N*)恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.

分析 ( 1)由于fx=14x+2,計算f(x)+f(1-x)即可證明.
(2)由(1)知fx+f1x=12,利用“倒序相加”即可得出.
(3)由(2)知an=n+14nN,可得an+1an=14nN,利用等差數(shù)列的求和公式可得Sn,代入Sn≥λan(n∈N*)化簡,利用數(shù)列的單調性即可得出.

解答 解:(1)證明:∵fx=14x+2,
fx+f1x=14x+2+141x+2=14x+2+4x4+24x=2+4x22+4x=12
(2)由(1)知fx+f1x=12,
f0+f1=f1n+fn1n=f2n+fn2n==12,
an=f0+f1n+f2n++fn1n+f1
an=f1+fn1n+fn2n++f0,
兩式相加得2an=[f0+f1]+[f1n+fn1n]+[f2n+fn2n]++[f1+f0]=12n+1,
an=n+14nN
(3)由(2)知an=n+14nN,∴an+1an=14nN,
∴數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列,
Sn=na1+an2=n12+n+142=nn+38,
{S_n}≥λ{a_n}⇒\frac{n(n+3)}{8}≥λ\frac{n+1}{4}⇒λ≤\frac{n(n+3)}{2(n+1)}=\frac{1}{2}[(n+1)-\frac{2}{n+1}+1],
又∵(n+1)-\frac{2}{n+1}+1在n∈N*上為遞增的函數(shù),∴當n=1時{[(n+1)-\frac{2}{n+1}+1]_{min}}=2,
{S_n}≥λ{a_n}({n∈{N^*}})恒成立,實數(shù)λ的取值范圍為(-∞,1].

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其求和公式、遞推關系、函數(shù)的性質、不等式的性質、“倒序相加”,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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