Question

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，求f（x）的最大值和最小值；

（2）若x∈[0，4]，使≥0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）f（x）min＝－，f（x）max＝170；（2）（－∞，]

【解析】試題分析：（1）將f（x）轉(zhuǎn)化為關(guān)于2x的二次函數(shù)，在限定區(qū)間上討論單調(diào)性并求最值；（2）分離參數(shù)a，使之成為a≤g（t）恒成立的形式，求參數(shù)a的取值范圍.

試題解析：（1）∵f（x）＝（2x）2－5·2x－6

設(shè)2x＝t，∵x∈[0，4]，則t∈[1，16]

∴f（x）＝h（t）＝t2－5t－6，t∈[1，16]

∵當(dāng)t∈[1，]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)t∈[，16]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增

∴f（x）min＝h（）＝－，f（x）max＝h（16）＝170即為所求最大值和最小值.

（2）∵f（x）＋12－a·2x≥0恒成立，而t＝2x＞0

∴存在t∈[1，16]使得a≤t＋－5成立

令g（t）＝t＋－5在[1，]上遞減，在[，16]上遞增

而g（1）＝2＜g（16）＝

∴g（t）max＝g（16）＝

∴a≤g（t）max＝g（16）＝

∴a的取值范圍是（－∞，]

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，不等式恒成立問(wèn)題，換元法