求證：以過拋物線焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必與相切（用分析法證）

 

【答案】

見解析。

【解析】

試題分析：

證明：（如圖）過焦點(diǎn)，作垂直準(zhǔn)線，取的中點(diǎn)，作垂直準(zhǔn)線．

要證明以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，

只需證，

由拋物線的定義：，，

所以，

因此只需證．

根據(jù)梯形的中位線定理可知上式是成立的．

所以，以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必與相切．

考點(diǎn)：本題主要考查分析法的定義和方法、拋物線定義。

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合，綜合應(yīng)用解析幾何知識(shí)。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=4，A（-1，0），B（1，0），直線l與圓O切于點(diǎn)S（l不垂直于x軸），拋物線過A、B兩點(diǎn)且以l為準(zhǔn)線，以F為焦點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)S在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：|FA|+|FB|為定值，并求出點(diǎn)F的軌跡C方程；
（2）曲線C上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N，中點(diǎn)D在直線y=l上，若直線l′經(jīng)過點(diǎn)D，且在l′上任取一點(diǎn)P（不同于D點(diǎn)），都存在實(shí)數(shù)λ，使得
DP
=λ(
MP
|
MP
|
+
NP
|
NP
|
)，證明：直線l′必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F的直線交y軸正半軸于點(diǎn)P，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限．
（Ⅰ）求證：以線段FA為直徑的圓與y軸相切；
（Ⅱ）若
FA
=λ1
AP
，
BF
=λ2
FA
，
λ1
λ2
∈[
1
4
，
1
2
]，求λ2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1、F2分別是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的左、右焦點(diǎn)，曲線C是坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以F2為焦點(diǎn)的拋物線，過點(diǎn)F1的直線l交曲線C于x軸上方兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，設(shè)
F1P
=λ
F1Q

（I）若λ∈[2，4]，求直線L的斜率k的取值范圍；
（II）求證：直線MQ過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省六校高三5月高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖所示：已知過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)。

（1）求證：以AF為直徑的圓與x軸相切；

（2）設(shè)拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)為M，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，求△ABM的外接圓方程；

（3）設(shè)過拋物線焦點(diǎn)F的直線與橢圓的交點(diǎn)為C、D，是否存在直線使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

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