Question

設(shè)有關(guān)x的一元二次方程9x²+6ax-b²+4=0．
（1）若a是從1，2，3這三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2這三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；
（2）若a是從區(qū)間[0，3]中任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示基本事件，由古典概型公式解答；
（2）表示a，b滿足的區(qū)域，求出面積，利用幾何概型解答．

解答： 解：（1）由題意，知基本事件共有9個(gè)，可用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示為（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），
其中第一個(gè)表示a的取值，第二個(gè)表示b的取值…（2分）
由方程9x²+6ax-b²+4=0的△=36a²-36（-b²+4）≥0⇒a²+b²≥4…（4分）
∴方程9x²+6ax-b²+4=0有實(shí)根包含7個(gè)基本事件，即（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
∴此時(shí)方程9x²+6ax-b²+4=0有實(shí)根的概率為

7

9

…（6分）

（2）a，b的取值所構(gòu)成的區(qū)域如圖所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2…（8分）
∴構(gòu)成“方程9x²+6ax-b²+4=0有實(shí)根”這一事件的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|a²+b²≥4，0≤a≤3，0≤b≤2}（圖中陰影部分）．
∴此時(shí)所求概率為

2×3- 1 4 ×π×22

2×3

=1-

π

6

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了古典概型、幾何概型的概率公式的運(yùn)用；關(guān)鍵是明確事件的屬性，正確選擇概率模型．