Question

17．如圖，矩形OABC的邊長OA=a，OC=1，點(diǎn)A，C分別在x，y正半軸上，D在AC上，$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CA}$，直線l垂直AC于D，且交直線BC于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F．
（1）寫出AC中點(diǎn)及D坐標(biāo)（用a表示）；
（2）若直線l交y軸于負(fù)半軸，求a的取值范圍；
（3）若直線l交y軸于正半軸，且l分矩形兩部分的面積之比是2：7，求|CE|．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出，
（2）先求出直線l的方程，令x=0時(shí)，y＜0即可，
（3）分別表示處CE，CF，根據(jù)三角形的面積公式，得到關(guān)于a的方程，解得即可．

解答 解：（1）∵A（a，0），C（0，1），
∴AC中點(diǎn)坐標(biāo)$（{\frac{a}{2}，\frac{1}{2}}）$，$\overrightarrow{CA}$=（a，-1）
∴$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CA}$=（$\frac{a}{4}$，-$\frac{1}{4}$）
∴D的坐標(biāo)為$（{\frac{a}{4}，\frac{3}{4}}）$，
（2）∵直線l垂直AC于D，且交直線BC于點(diǎn)E，
∴直線AC的斜率為-$\frac{1}{a}$
∴直線l的斜率為a，
∴直線l的方程為y-$\frac{3}{4}$=a（x-$\frac{a}{4}$），
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{3}{4}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$＜0，
解得a＞$\sqrt{3}$；
（3）且分矩形兩部分的面積之比是2：7，
即S_△CFE=$\frac{2}{9}$S_矩形OABC=$\frac{2a}{9}$，
由（2）可知直線l的方程為y-$\frac{3}{4}$=a（x-$\frac{a}{4}$），
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{3}{4}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$＞0，即0＜a＜$\sqrt{3}$
∴CF=1-（$\frac{3}{4}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$
當(dāng)y=1時(shí)，1-$\frac{3}{4}$=a（x-$\frac{a}{4}$），解得x=$\frac{1}{4a}$+$\frac{a}{4}$
∴CE=x=$\frac{1}{4a}$+$\frac{a}{4}$，
∴S_△CFE=$\frac{1}{2}$CE•CF=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$）（$\frac{1}{4a}$+$\frac{a}{4}$）=$\frac{2a}{9}$，
解得a=$\frac{1}{3}$，
即|CE|=$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和直線方程的求法和三角形的面積公式，屬于中檔題．